复变函数的概念

复数表示

$$\large \begin{array}{ll} z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) = |z|e^{i\theta} \\ \text{Re }z = |z| \cos \theta \\ \text{Im }z = |z| \sin \theta \\ \end{array}$$

$\text{Arg } z$ 表示复数 $z$ 的辐角, 它有无穷多值, 任意两个值的差是 $2k\pi$, $\arg z$ 表示幅角主值, 一般认为 $\arg z \in (-\pi, \pi]$

$\text{Ln } z$ 表示对数, 同样有无穷多值, $\ln z$ 表示对数主值.

共轭

$$\large \begin{array}{ll} \overline{z_1 \pm z_2} = \overline{z_1} \pm \overline{z_2} \\ \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \\ \overline{\left( \frac{z_1}{z_2} \right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \\ |z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \\ \end{array}$$

辐角

$$\large \begin{array}{ll} \text{Arg } (z_1 z_2) = \text{Arg } z_1 + \text{Arg } z_2 \\ \text{Arg } (\frac{z_1}{z_2}) = \text{Arg } z_1 - \text{Arg } z_2 \\ \end{array}$$

乘方

$$\large \begin{array}{ll} |z|^2 = z \cdot \overline{z} \\ z^n = |z|^n [\cos (n \theta) + i \sin (n \theta)] \\ z^{-n} = |z|^{-n} [\cos (-n \theta) + i \sin (-n \theta)] \\ z^{\frac1n} = |z|^{\frac1n} [\cos (\frac{\theta + 2k \pi}{n}) + i \sin (\frac{\theta + 2k \pi}{n})] \\ \end{array}$$

曲线方程

平面曲线 $C = \left\{ \begin{array}{ll} x = x(t) \\ y = y(t) \end{array} \right. , t \in [\alpha, \beta]$ 可表示为复数方程 $z = z(t) = x(t) + iy(t)$, 若 $x'(t), y'(t)$ 存在连续且不为零, 则 $C$ 为光滑曲线.

$z_1, z_2$ 所在的线段可表示为 $z = z_1 + t(z_2 - z_1), t \in [0, 1]$

以 $z_1$ 为圆心, $r$ 为半径的园可表示为 $|z - z_1| = r$

复变函数

令 $w = u + iv = f(z) = f(x + iy)$, 记 $\text{Re }f(z) = u(x, y), \text{Im }f(z) = v(x, y)$, 则 $f(z)$ 可被拆为两个实函数: $u = x^2 - y^2, v = 2xy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$

复数列 ${z_n}$ 有极限的充要条件是 ${\bar{z}_n}$ 有极限.

$\lim\limits_{z \rightarrow z_0} f(z) = A$ 的充要条件是 $\lim\limits_{z \rightarrow z_0} \overline{f(z)} = \overline{A}$

$\lim\limits_{z \rightarrow z_0} f(z) = A$ 的充要条件是 $\lim\limits_{z \rightarrow z_0} \text{Re } f(z) = \text{Re } A, \lim\limits_{z \rightarrow z_0} \text{Im } f(z) = \text{Im } A$

解析函数

$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 在区域 $D$ 内一点 $z = x + iy$ 可微的充要条件是 $u(x, y), v(x, y)$ 在 $D$ 内可微, 且

$$\Large \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\\\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{array} \right.$$

该条件称为 柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件, 简称 C-R条件.

当 $f(z)$ 可微时, 有

$$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x}$$

当复变函数 $f(z)$ 是以含 $z$ 的表达式表示时, 直接使用初等函数的导数公式即可.

特殊函数

指数函数

$$w = e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos y + i \sin y)$$

对于任意复数, 都有 $e^z \neq 0, |e^z| = e^x > 0$.

该函数周期是 $2\pi i$, $e^{z + 2 \pi i} = e^z$.

三角函数

$$\large \begin{array}{ll} \sin z = \frac{1}{2i}(e^{iz} - e^{-iz}) \\\\ \cos z = \frac{1}{2}(e^{iz} + e^{-iz}) \end{array}$$

以上两个函数的周期均为 $2\pi$.

$$\large \begin{array}{} \cos(z_1 + z_2) = \cos z_1 \cos z_2 - \sin z_1 \sin z_2 \\\\ \sin(z_1 + z_2) = \sin z_1 \cos z_2 - \cos z_1 \sin z_2 \\\\ e^{iz} = \cos z + i \sin z \\\\ \sin^2 z + \cos^2 z = 1 \\\\ |\sin z|, |\cos z| \in [0, +\infty) \end{array}$$

对数函数

复数 $z$ 的对数表示为 $\text{Ln } z$.

$$\text{Ln } z = \ln |z| + i \text{Arg } z = \ln r + i(\theta + 2k\pi) \\\\ \text{Ln } z = \ln z + 2k\pi i \\\\ \ln z = \ln |z| + i \arg z \\\\ w = \alpha^{z} = e^{z\text{Ln }\alpha}$$

当求 $\beta^\alpha$ ($\alpha, \beta$ 为复数)时, 一般转换成 $\large e^{\alpha \text{Ln }\beta}$.

幂函数

$w = z^\alpha = e^{\alpha \text{Ln }z}$ 为一般幂函数.

当 $\alpha$ 是整数时:

$$w = z^{\alpha} = e^{\alpha (\ln z + 2k\pi i)}$$

当 $\alpha$ 是既约分数 $\Large\frac mn$ 时:

$$\begin{array}{ll} w &= {\large z^{\alpha} = e^{\frac mn \ln |z| + i (\frac mn \theta + 2k\pi)}} \\ &= {\large \sqrt[n]{|z|^m} \left[ \cos \frac{m(\theta + 2k\pi)}{n} + i\sin \frac{m(\theta + 2k\pi)}{n} \right]} \end{array}$$

当 $\alpha$ 为无理数或虚数时:

$$\large w = z^\alpha = e^{\alpha(\ln|z| + i \theta + 2k\pi i)}$$

并且对于任意 $k_1 \neq k_2$, 必有 $e^{2\alpha k_1\pi i} \neq e^{2\alpha k_2\pi i}$.

复变函数的积分

复变函数的积分一般是沿复平面上的曲线积分.

若有函数 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$, 则:

$$\begin{array}{ll} &\displaystyle \int_C f(z)dz \\\\ =&\displaystyle \int_C (u+iv)(dx+idy) \\\\ =&\displaystyle \int_C (udx-vdy) + i\int_C (vdx+udy) \end{array}$$

若 $z = z(t) + iy(t)$, 则:

$$\int_C f(z) dz = \int_\alpha^\beta f[z(t)] z'(t) dt$$

实函数的积分计算规则在复变函数中仍然适用.

牛顿-莱布尼茨公式

若 $f$ 在区域 $\Omega$ 上连续, $g$ 在 $\Omega$ 上解析, $g'(z) = f(z)$, 则称 $g(z)$ 为 $f(z)$ 的原函数或不定积分.

若 $C: z = z(t) = x(t) + iy(t),(\alpha \leq t \leq \beta)$ 的起点是 $a = z(\alpha)$, 终点是 $b = z(\beta)$, 则:

$$\int_C f(z)dz = g(b) -g(a)$$

柯西定理

若 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 解析, 则 $D$ 内任一闭路(围线) $C$, 有 $\displaystyle\int_C f(z)dz = 0$.

若复连通区域 $D$ 的边界是 $C_0$, 内部含有多个单连通区域 $C_1, C_2, \cdots, C_n$, 则 $D$ 的边界是一条复合闭路 $C = C_0 + C_1^- + \cdots + C_n^-$. 有:

$$\int_{C_0} f(z)dz + \int_{C_1^{\bm{-}}} f(z)dz + \cdots + \int_{C_n^{\bm{-}}} f(z)dz = 0$$

也可以写成:

$$\int_{C_0} f(z)dz = \int_{C_1^{\bm{-}}} f(z)dz + \cdots + \int_{C_n^{\bm{-}}} f(z)dz$$

也就是说, 求复连通区域的积分, 只要分别求出内部各个单连通区域的积分, 然后把它们加起来即可.

若区域 $D$ 的边界是闭路 $C$, $f(z)$ 在 $D$ 内解析, 在 $\overline{D} = D + C$ 上连续, 则:

$$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz, z_0 \in D, z \in C$$

这意味着分式的积分可以转化成单个复变函数来计算, 下面是一个例子:

给定曲线 $C: |z|=1$, 有:

$$\int_C \frac{e^z}{z(z-2)}dz = {\large \int_C \frac{\left( \frac{e^z}{z-2} \right)}{z}}dz = 2\pi i \frac{e^z}{z-2} \bigg|_{z=0} = -\pi i$$

原函数与高阶导数

若函数 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 解析, $f(z)$ 沿 $D$ 内点 $z_0$ 到 $z$ 的积分与连接两点的曲线无关, 当 $z_0$ 选定后, 积分由 $z$ 唯一确定, 因此该积分是一个单值函数, 记为:

$$F(z) = \int_{z_0}^{z} f(\xi)d\xi$$

一般情况下, 实函数的积分规则可以直接用于复变函数, 如分部积分:

$$\int_1^{\pi i} ze^zdz = ze^z \bigg|_1^{\pi i} - \int_1^{\pi i} e^zdz = [-\pi i - e] - [-1 - e] = 1 - \pi i$$

$f(z)$ 的任意阶导数为:

$$f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{f(\xi)}{(\xi - z)^{n+1}}d\xi$$

柯西不等式在复变函数的推广: 若 $f(z)$ 在 $D$ 解析, $a$ 为 $D$ 内一点, $C_R: |z-a|=R$, $\overline{K}_R: |z-a| \leq R$, 则

$$\left| \int^{(n)}(a) \right| \leq \frac{n!}{R^n}M_R, M_R = \max_{|z-a|=R}\left|f(z)\right|$$

当 $R \rightarrow +\infty$, 若取 $n=1$, 则 $\displaystyle |f'(a)| \leq \frac{M_R}{R}$, 当 $f(a)$ 有界时, 必有 $M_R \leq M$, 即 $|f'(a)| \leq 0$, 因此 $f(z)$ 必为常数.

关于复数 $z$ 的多项式 $p(z) = a_0z^n + a_1z^{n-1} + \cdots + a_{n-1}z + a_0$ 至少有一个零点.