曲线与曲面积分公式整理

第一类曲线积分(对弧长的积分)

意义

1. 当$f(x,y)=1$时,表示曲线$L$的长度
2. 表示线密度为$f(x,y)$的曲线质量

公式1

$$\large \int_Lf(x,y)ds=\int_{x_0}^Xf[x,φ(x)]\sqrt{1+φ^{'2}(x)}dx$$

公式2

$$\large \text{若} \left \{ \begin{array}{ll} x=φ(t) \\ y=\phi(t) \end{array} \right. ,(\alpha \leq t \leq \beta),\text{则} \\\\ \int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f[φ(t),\phi(t)]\sqrt{φ^{'2}(t)+\phi^{'2}(t)}dt$$

第二类曲线积分(对坐标的积分)

意义

1. 沿$L$运动的变力$F=f(x,y)$做的功

公式3

$$\large \text{若} \left \{ \begin{array}{ll} x=φ(t) \\ y=\phi(t) \end{array} \right. ,(\alpha \leq t \leq \beta),\text{则} \\ \begin{array}{ll} &\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy \\\\ =&\int_\alpha^\beta\{P[φ(t),\phi(t)]φ^{'}(t)+Q[φ(t),\phi(t)]\phi^{'}(t)\} \end{array}$$

公式4

$$\large \int_LPdx+Qdy=\int_L(P\cos \alpha+Q\cos \beta)ds$$

其中$\cos α$与$\cos β$是$L$在$(x,y)$处的切向量相对于$x$轴和$y$轴的方向余弦

格林公式

公式5

$$\large \iint\limits_D(\frac{∂Q}{∂x}-\frac{∂P}{∂y})dxdy=\oint_LPdx+Qdy$$

其中$L$是单连通区域$D$的正向边界

公式6

$$\large \iint\limits_D(\frac{∂Q}{∂x}-\frac{∂P}{∂y})dxdy=\oint_L(Pdx+Qdy)+\oint_l(Pdx+Qdy)$$

其中$L$是复连通区域$D$外部正向边界,$l$(小写$L$)是复连通区域$D$内部正向边界(假设$D$内只有一个“洞”)

公式7

平面上曲线积分与路径无关的充要条件

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy$为某个函数$u(x,y)$的全微分的充要条件

$$\large \frac{∂Q}{∂x}=\frac{∂P}{∂y}$$

公式8

全微分方程求解

$$\large Pdx+Qdy=0\Leftrightarrow \int_{x_0}^xP(x,y)dx+\int_{y_0}^{y}Q(x,y)dy=C$$

第一类曲面积分(对面积的积分)

意义

1. 当$f(x,y,z)=1$时,表示曲面的面积
2. 表示面密度为$f(x,y,z)$的曲面质量

公式9

$$\large \begin{array}{ll} &\iint\limits_Σf(x,y,z)dS \\\\ =&\iint\limits_Df[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2(x,y)+z_y^2(x,y)}dxdy \end{array}$$

第二类曲面积分(对坐标的积分)

意义

1. 单位时间内速度场$v=Pi+Qj+Rk$经过曲面一侧的流量

公式10

$$\large \iint\limits_Σ P(x,y,z)dxdy=\pm\iint\limits_D P[x,y,z(x,y)]dxdy$$

对于其它情况,只需把$x$和$y$替换掉即可

公式11

$$\large \begin{array}{ll} &\iint\limits_Σ Pdydz+Qdxdz+Rdxdy \\\\ =&\iint\limits_Σ (P\cos α +Q\cos β +R\cos γ)dS \end{array}$$

其中$cosα$,$cosβ$,$cosγ$是曲面$Σ$在$(x,y,z)$处法向量对于$x$,$y$,$z$轴的方向余弦

高斯公式

公式12

$$\large \iint\limits_Ω (\frac{∂P}{∂x}+\frac{∂Q}{∂y}+\frac{∂R}{∂z})dv=\oiint\limits_ΣPdydz+Qdxdz+Rdxdy$$

其中$Σ$是围成闭区域$Ω$的曲面的外侧

公式13

曲面积分与曲面无关的充要条件

$$\large \frac{∂P}{∂x}+\frac{∂Q}{∂y}+\frac{∂R}{∂z}=0$$

斯托克斯公式

公式14

$$\large \begin{array}{ll} &\iint\limits_Σ(\frac{∂R}{∂y}-\frac{∂Q}{∂z})dydz+(\frac{∂P}{∂z}-\frac{∂R}{∂x})dxdz+(\frac{∂Q}{∂x}-\frac{∂P}{∂y})dxdy \\\\ =&\oint_Γ Pdx+Qdy+Rdz \end{array}$$

公式15

空间曲线积分与路径无关的充要条件

$$\large \frac{∂R}{∂y}=\frac{∂Q}{∂z},\frac{∂P}{∂z}=\frac{∂R}{∂x},\frac{∂Q}{∂x}=\frac{∂P}{∂y}$$

物理量

质心(重心)

$$\large \bar{x}=\frac{ \iiint\limits_Ωxf(x,y,z)dxdydz }{ \iiint\limits_Ωf(x,y,z)dxdydz }$$

$y$与$z$同理

转动惯量

$$\large I_x=\iiint\limits_Ω(y^2+z^2)f(x,y,z)dv$$

$y$与$z$同理

其中原点的转动惯量如下

$$\large I_O=\iiint\limits_Ω(x^2+y^2+z^2)f(x,y,z)dv$$

万有引力

$$\Large \vec{F}= \begin{pmatrix} F_x \cr\cr\cr F_y \cr\cr\cr F_z \end{pmatrix} =G \begin{pmatrix} \iiint\limits_Ω\frac{(x-x_0)f(x,y,z)}{r^3}dv \cr\cr \iiint\limits_Ω\frac{(y-y_0)f(x,y,z)}{r^3}dv \cr\cr \iiint\limits_Ω\frac{(z-z_0)f(x,y,z)}{r^3}dv \end{pmatrix}$$

向量微分算子

$$\large \nabla=\frac{∂}{∂x}\vec i+\frac{∂}{∂y}\vec j$$

三维同理

梯度(grad)

$$\large \text{grad}(f)=\nabla f(x,y)=\frac{∂f}{∂x}\vec i+\frac{∂f}{∂y}\vec j$$

通量

设向量场$\vec A(x,y,z)=P\vec i+Q\vec j+R\vec k$,$\vec n$是点$M(x,y,z)$处的法向量,则通量为

$$\large \iint\limits_Σ\vec A\cdot \vec nd\vec S=\iint\limits_Σ Pdydz+Qdxdz+Rdxdy$$

散度(div)

$$\large \begin{aligned} f(x,y,z)=P\vec i+Q\vec j+R\vec k \\\\ \text{div}(f)=\frac{∂P}{∂x}+\frac{∂Q}{∂y}+\frac{∂R}{∂z} \end{aligned}$$

环流量

设向量场$\vec A(x,y,z)=P\vec i+Q\vec j+R\vec k$,$\vec τ$是点$M(x,y,z)$处的单位切向量,则环流量为

$$\large \oint_Γ\vec A\cdot \vec τds=\oint_ΓPdx+Qdy+Rdz$$

旋度(rot)

$$\large \begin{array}{ll} f(x,y,z)=R\vec i+Q\vec j+R\vec k \end{array}$$

$$\large \begin{array}{ll} \text{rot}(f) &=(\frac{∂R}{∂y}-\frac{∂Q}{∂z})\vec i +(\frac{∂P}{∂z}-\frac{∂R}{∂x})\vec j +(\frac{∂Q}{∂x}-\frac{∂P}{∂y})\vec k \\\\ &=\nabla × f \\\\ &= \Large \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \cr \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \cr P & Q & R \end{vmatrix} \end{array}$$