待定系数法求二阶常系数非齐次线性方程特解

解法说明

设方程

$$y^{''}+py^{'}+qy=P(x)e^{rx}$$

其中$P(x)$是关于$x$的多项式

先求出特征方程的两个根$r_1$,$r_2$,得到通解,下面使用待定系数法求出特解,令

$$y= \left \{ \begin{array}{ll} Q(x)&,r\text{不是特征根} \\ xQ(x)&,r\text{是单根} \\ x^2Q(x)&,r\text{是重根} \end{array} \right.$$

其中$Q(x)$是与$P(x)$同次多项式,即$Q(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$

代入原方程,即可解出$Q(x)$

例题1

显然特征方程的根为$1$和$0$,先求出对应的齐次方程的解,得到$y=C_1e^x+C_2$

将方程右边拆开并转换成e^x的形式,得到

$$\left \{ \begin{array}{ll} y_1^{''}-y_1^{'}=(2x+1)e^x&,(r_1=1) \\\\ y_2^{''}-y_2^{'}=(4x-1)e^0&,(r_2=0) \end{array} \right.$$

显然$r1$和$r2$都是特征根,则令

$$\left \{ \begin{array}{ll} y_1=x(Ax+B)e^x=(Ax^2+Bx)e^x \\\\ y_2=x(Cx+D)e^0=Cx^2+Dx \end{array} \right.$$

代入原方程,得到

$$\left \{ \begin{array}{ll} y_1^{''}-y_1^{'}=2Ax+2A+B=2x+1 \\\\ y_2^{''}-y_2^{'}=-2Cx+2C-D=4x-1 \end{array} \right.$$

解出$\begin{pmatrix}A \cr B \cr C \cr D \cr \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \cr -1 \cr -2 \cr -3 \cr \end{pmatrix}$

因此原方程通解为

$$y=C_1e^x+C_2+(x^2-x)e^x-2x^2-3x$$

例题2

与上题步骤一致,先拆分出

$$\left \{ \begin{array}{ll} y_1^{''}-y_1^{'}=(2x^2+6x)e^{2x}&,(r_1=2) \\\\ y_2^{''}-y_2^{'}=(4x-4)e^0&,(r_2=0) \end{array} \right.$$

显然$r_1=2$不是特征根,则第一条方程取$Q(x)$= Ax2+Bx+C,第二条方程取$xQ(x) = Dx2+Ex$

$$\left \{ \begin{array}{ll} [2Ax^2+(6A+2B)x+(2A+3B+2C)]e^{2x}=(2x^2+6x)e^{2x} \\\\ -2Dx+2D-E=4x-4 \end{array} \right.$$

解出未知数的值

$$\begin{pmatrix} A \cr B \cr C \cr \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cr 0 \cr -1 \cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} D \cr E \cr \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \cr 0 \cr \end{pmatrix}$$

因此原方程通解为

$$y=C_1e^x+C_2+(x^2-1)e^{2x}-2x^2$$