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解法说明

设方程

DearXuan

其中 P(x) 是关于x的多项式

先求出特征方程的两个根 r1, r2,得到通解,下面使用待定系数法求出特解

若 r 是特征方程的根,则令

DearXuan

其中 Q(x) 是与 P(x) 同次的多项式,下面同理

若 r 不是特征方程的根,则令

DearXuan

展开 Q(x),得到

DearXuan

代入原方程,即可解出 Q(x)

例题1

DearXuan

显然特征方程的根为 1 和 0,先求出对应的齐次方程的解,得到

DearXuan

将方程右边拆开并转换成e^x的形式,得到

DearXuan

显然 r1 和 r2 都是特征根,则令

DearXuan

代入原方程,得到

DearXuan

解出 a = 1, b = -1, c = -2, d = -3

因此原方程通解为

DearXuan

例题2

DearXuan

与上题步骤一致,先拆分出

DearXuan

显然 r = 2 不是特征根,则第一条方程取 Q(x) = ax2+bx+c,第二条方程取 Q(x) = ax2+bx

DearXuan

注意这两条方程并不是方程组,仅仅是为了方便而写在一起

解出未知数的值

DearXuan

因此原方程通解为

DearXuan

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