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第一类曲线积分(对弧长的积分)

意义

  1. 当f(x,y)=1时,表示曲线L的长度
  2. 表示线密度为f(x,y)的曲线质量

公式1

DearXuan

公式2

DearXuan

第二类曲线积分(对坐标的积分)

意义

  1. 沿L运动的变力F=f(x,y)做的功

公式3

DearXuan

公式4

DearXuan

其中cosα与cosβ是L在(x,y)处的切向量相对于x轴和y轴的方向余弦

格林公式

公式5

DearXuan

其中L是单连通区域D的正向边界

公式6

DearXuan

其中L是复连通区域D外部正向边界,l(小写L)是复连通区域D内部正向边界(假设D内只有一个“洞”)

公式7

平面上曲线积分与路径无关的充要条件

P(x,y)dx+Q(x,y)dy为某个函数u(x,y)的全微分的充要条件

DearXuan

公式8

全微分方程求解

DearXuan

第一类曲面积分(对面积的积分)

意义

  1. 当f(x,y,z)=1时,表示曲面的面积
  2. 表示面密度为f(x,y,z)的曲面质量

公式9

DearXuan

第二类曲面积分(对坐标的积分)

意义

  1. 单位时间内速度场v=Pi+Qj+Rk经过曲面一侧的流量

公式10

DearXuan

对于其它情况,只需把x和y替换掉即可

公式11

DearXuan

其中cosα,cosβ,cosγ是曲面在(x,y,z)处法向量对于x,y,z轴的方向余弦

高斯公式

公式12

DearXuan

其中Σ是围成闭区域Ω的曲面的外侧

公式13

曲面积分与曲面无关的充要条件

DearXuan

斯托克斯公式

公式14

DearXuan

公式15

空间曲线积分与路径无关的充要条件

DearXuan

物理量

质心(重心)

DearXuan

y与z同理

转动惯量

DearXuan

y与z同理

原点的转动惯量如下

DearXuan

万有引力

DearXuan

向量微分算子

DearXuan

三维同理

梯度(grad)

DearXuan

通量

DearXuan

散度(div)

DearXuan

环流量

DearXuan

旋度(rot)

DearXuan

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