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积分上限函数

当定积分的上限为未知数x时,原定积分变成一个关于x的函数,称为积分上限函数

DearXuan

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变限积分求导

设 f(x) 的原函数为 F(x),且

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变限积分的无穷小阶数

设 f(x) 的原函数为 F(x),且

DearXuan

对 g(x) 求导,得到

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由于求导后阶数减一,因此 g(x) 的阶数为 (mn+n)

在实际做题时,可以通过等价无穷小或者泰勒展开的方法,将复杂的函数转化成多项式,因此该结论仍然成立,即 (被积函数的阶数+1) × 积分上限的阶数

如下面函数的阶数就是 (2 + 1) × 1 = 3

DearXuan

当积分上下限都是函数但不是等价无穷小时,只需要将其看作两个积分上限函数相加即可。如果积分上下限是等价无穷小,那么需要特殊处理

由于上下限两个函数是等价无穷小,因此他们的最低阶数一定都是 Ax^n,即阶数相同,系数也相同,那么我们就可以将上限函数看作下限函数(最低阶为n)与另一个最低阶为k的多项式的和。换个说法,这个最低阶为k的多项式其实就是积分上下限之差,即上限减去下限

DearXuan

因此 g(x) 的阶数是 (mn+k),即 被积函数的阶数 × 积分上(下)限的阶数 + 积分上下限之差的阶数

如下面函数的阶数是 1 × 1 + 3 = 4

DearXuan

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