变限积分的导数

积分上限函数

当定积分的上限为未知数$x$时,原定积分变成一个关于$x$的函数,称为积分上限函数

$$\large g(x)=\int_a^x f(t)dt$$

设$F^{'}(x)=f(x)$,则

$$\large \begin{array}{ll} &g^{'}(x) \\ =&\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt \\ =&\frac{d}{dx}[F(x)-F(a)] \\ =&f(x) \end{array}$$

变限积分求导

设$f(x)$的原函数为$F(x)$,且$\large g(x)=\int_{\phi(x)}^{φ(x)}f(t)dt$,则

$$\large \begin{array}{ll} g^{'}(x)&=\int_{\phi(x)}^{φ(x)}f(t)dt \\ &=\frac{d}{dx}[f(φ(x))-f(\phi(x))] \\ &=φ^{'}(x)f(φ(x))-\phi^{'}(x)f(\phi(x)) \end{array}$$

变限积分的无穷小阶数

设$f(x)$的原函数为$F(x)$,且$g(x)=\int_0^{P_n(x)}P_m(t)dt$,其中$P_k(x)$表示最低阶为$k$的多项式,而不是一个具体的函数

对$g(x)$求导,得到

$$\large \begin{array}{ll} g^{'}(x)&=\frac{d}{dx}\int_0^{P_n(x)}P_m(t)dt \\ &=P_n^{'}(x)\cdot P_m(P_n(x)) \\ &=P_{n-1}(x)\cdot P_{mn}(x) \\ &=P_{mn+n-1}(x) \end{array}$$

由于求导后阶数减一,因此$g(x)$的阶数为 $\color{red}(mn+n)$

在实际做题时,可以通过等价无穷小或者泰勒展开的方法,将复杂的函数转化成多项式,因此该结论仍然成立,即 (被积函数的阶数+1) × 积分上限的阶数

如下面函数的阶数就是$(2 + 1) × 1 = 3$

$$\large \int_0^{\sin x}\sin t^2dt \sim \int_0^x t^2dt$$

当积分上下限都是函数但不是等价无穷小时,只需要将其看作两个积分上限函数相加即可.如果积分上下限是等价无穷小,那么需要特殊处理

由于上下限两个函数是等价无穷小,因此他们的最低阶数一定都是 Ax^n,即阶数相同,系数也相同,那么我们就可以将上限函数看作下限函数(最低阶为n)与另一个最低阶为k的多项式的和.换个说法,这个最低阶为k的多项式其实就是积分上下限之差,即上限减去下限

$$\large \begin{array}{ll} g^{'}(x) &=\frac d{dx}\int_{\textcolor{green}{P_n(x)}}^{\textcolor{red}{Q_n(x)}}P_m(t)dt \\\\ &=\frac d{dx}\int_{\textcolor{green}{P_n(x)}}^{\textcolor{red}{P_n(x)+P_k(x)}}P_m(t)dt,\textcolor{red}{k>n,Q_n(x)=P_n(x)+P_k(x)} \\\\ &=\left[\textcolor{red}{P_n^{'}(x)+P_k^{'}(x)}\right]\cdot P_m\left(\textcolor{red}{P_n(x)+P_k(x)}\right)-\textcolor{green}{P_n^{'}(x)}\cdot P_m\left(\textcolor{green}{P_n(x)}\right) \\\\ &=\left[\textcolor{red}{P_n^{'}(x)+P_k^{'}(x)}\right]\cdot P_m\left(\textcolor{red}{P_n(x)}\right)-\textcolor{green}{P_n^{'}(x)}\cdot P_m\left(\textcolor{green}{P_n(x)}\right) \\\\ &=\textcolor{red}{P_n^{'}(x)} \cdot P_m\left(\textcolor{red}{P_n(x)}\right)+\textcolor{red}{P_k^{'}(x)} \cdot P_m\left(\textcolor{red}{P_n(x)}\right)-\textcolor{green}{P_n^{'}(x)} \cdot P_m\left(\textcolor{green}{P_n(x)}\right) \\\\ &=\textcolor{red}{P_k^{'}}\cdot P_m\left(\textcolor{red}{P_n(x)}\right) \\\\ &=P_{mn+k-1}(x) \end{array}$$

因此$g(x)$的阶数是 (mn+k),即 被积函数的阶数 × 积分上(下)限的阶数 + 积分上下限之差的阶数

如下面函数的阶数是$1 × 1 + 3 = 4$

$$\large \int_x^{\sin x}\sin tdt \sim \int_x^{x-\frac{x^3}{6}}tdt$$