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三角函数

sinx=xx36+...=n=0(1)nx2n+1(2n+1)!,x(1,1)cosx=1x22+x44!...=n=0(1)nx2n(2n)!,x(1,1)tanx=x+x33+...=n=1(22n1)22nBn(2n)!x2n1,x(1,1)\large \begin{array}{ll} \sin x=x-\frac{x^3}{6}+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},x\in (-1,1) \\\\ \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},x\in (-1,1) \\\\ \tan x=x+\frac{x^3}{3}+...=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2^{2n}-1)\cdot 2^{2n}\cdot B_n}{(2n)!}\cdot x^{2n-1},x \in (-1,1) \end{array}

反三角函数

arcsinx=x+x36+...=n=0(2n)!4n(2n+1)(n!)2x2n+1,x(1,1)arccosx=π2xx36+...=π2n=0(2n)!4n(2n+1)(n!)2x2n+1,x(1,1)arctanx=xx33+...=n=0(1)n2n+1x2n+1,x[1,1]\large \begin{array}{ll} \arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(2n+1)(n!)^2}\cdot x^{2n+1},x\in (-1,1) \\\\ \arccos x=\frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6}+...=\frac{\pi}{2}-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(2n+1)(n!)^2} \cdot x^{2n+1},x\in (-1,1) \\\\ \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1},x\in [-1,1] \end{array}

其他

11x=1+x+x2+...=n=0xn,x(1,1)11+x=1x+x2...=n=0(1)nxn,x(1,1)ex=1+x+x22+...=n=0xnn!,x(,+)ln(1+x)=xx22+x33...=n=1(1)n+1xnn,x(1,1](1+x)k=1+kx+k(k1)2x2+...=n=0i=kn+1kin!xn,x(1,1)\large \begin{array}{ll} \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n,x\in (-1,1) \\\\ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n,x\in (-1,1) \\\\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},x\in (-\infty, +\infty) \\\\ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n},x\in (-1,1] \\\\ (1+x)^k=1+kx+\frac{k(k-1)}{2}x^2+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\prod\limits_{i=k-n+1}^{k}i}{n!}x^n,x\in (-1,1) \end{array}

泰勒展开项数

通常情况下,只需要记住泰勒展开的前232\sim 3项.使用麦克劳林公式时,要注意高阶无穷小是否可以忽略,如下面例题

limx0xsinxx3\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin x}{x^3}

若将sinxsinx展开一项,则xsinx=xx+o(x)x-sinx = x - x + o(x).由于xx的一次项系数为00,所以o(x)o(x)不可忽略,正确答案应该展开两项,得到16\frac{1}{6}

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