常用泰勒展开

三角函数

$$\large \begin{array}{ll} \sin x=x-\frac{x^3}{6}+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},x\in (-1,1) \\\\ \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},x\in (-1,1) \\\\ \tan x=x+\frac{x^3}{3}+...=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2^{2n}-1)\cdot 2^{2n}\cdot B_n}{(2n)!}\cdot x^{2n-1},x \in (-1,1) \end{array}$$

反三角函数

$$\large \begin{array}{ll} \arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(2n+1)(n!)^2}\cdot x^{2n+1},x\in (-1,1) \\\\ \arccos x=\frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6}+...=\frac{\pi}{2}-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(2n+1)(n!)^2} \cdot x^{2n+1},x\in (-1,1) \\\\ \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1},x\in [-1,1] \end{array}$$

其他

$$\large \begin{array}{ll} \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n,x\in (-1,1) \\\\ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n,x\in (-1,1) \\\\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},x\in (-\infty, +\infty) \\\\ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n},x\in (-1,1] \\\\ (1+x)^k=1+kx+\frac{k(k-1)}{2}x^2+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\prod\limits_{i=k-n+1}^{k}i}{n!}x^n,x\in (-1,1) \end{array}$$

泰勒展开项数

通常情况下,只需要记住泰勒展开的前$2\sim 3$项.使用麦克劳林公式时,要注意高阶无穷小是否可以忽略,如下面例题

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin x}{x^3}$$

若将$sinx$展开一项,则$x-sinx = x - x + o(x)$.由于$x$的一次项系数为$0$,所以$o(x)$不可忽略,正确答案应该展开两项,得到$\frac{1}{6}$