二重积分的对称性技巧

对称性

当被积函数较为复杂,或者由一个简单项和一个极其复杂的项组合成时,直接积分非常麻烦,此时可以观察积分区域D,巧妙利用D的对称性来抵消掉复杂的部分,从而简化计算

设 $D=\{(x,y)|-1\leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$

求 $\iint_D[x^2y+y\ln(x+\sqrt{x^2+1})]dxdy$

不难看出 $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ 是一个奇函数,而 $x$ 范围恰好是对称的,因此该函数积分后这部分一定为 $0$ ,则计算时可以直接舍弃右边的 $\ln$ 函数

\begin{array}{ll} I&=\int_{-1}^{1}dx\int_0^1x^2ydy \\\\ &=\int_{-1}^{1}\frac{x^2}{2}dx \\\\ &=\frac 1 3 \end{array}

设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq 4\}$ ,求 $\iint_D(x+2y)^2dxdy$

将被积函数展开,其中一项为 $4xy$ ,发现区域 $D$ 是一个以原点为圆心的圆,该项在一三象限为正,在二四象限为负,可以相互抵消,同时又有 $\iint_Dx^2dxdy=\iint_Dy^2dxdy$ ,所以

\begin{array}{ll} I&=\iint\limits_D(x^2+4y^2)dxdy \\\\ &=\iint\limits_D5x^2dxdy \\\\ &=\frac{5}{2}\iint\limits_D(x^2+y^2)dxdy \\\\ &=\frac{5}{2}\int_0^{2\pi}dθ\int_0^2r^3dr \\\\ &=20\pi \end{array}

设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2 \leq 2x\}$ ,求 $\iint_D(x^2+xy)dxdy$

显然积分区域 $D$ 是一个关于 $x$ 轴对称的圆,因此项 $xy$ 可以被抵消

同时由于积分区域是个圆,用直角坐标难以计算,因此改用极坐标

设 $\left \{ \begin{array}{ll}x=r\cos θ \\ y=r\sin θ \end{array}\right.,r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2x}=\sqrt{2r\cos θ}\Rightarrow r=2\cos θ$

则

\begin{array}{ll} I&=\iint\limits_Dx^2dxdy \\\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}dθ\int_0^{2\cos θ}r^3\cos^2θdr \\\\ &=8\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^6θdθ \\\\ &=8\cdot \frac56\cdot\frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 \\\\ &=\frac{5\pi}{4} \end{array}