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矩阵论-线性算子

矩阵论

发布于：2023年5月29日

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线性空间上的线性算子

设 MM 与 M′M' 为两个集合,对于每个 x∈Mx \in M, 如果根据某种法则 A\mathscr{A}, 在 M′M' 中有确定的 x′x' 与之对应,那么称 A\mathscr{A} 为由 MM 到 M′M' 的一个映射,或称算子,记为 A:M→M′\mathscr{A}:M \rightarrow M', 或 A(x)=x′\mathscr{A}(x) = x'.

此时, x′x' 叫做 xx 在 A\mathscr{A} 下的像, xx 叫做 x′x' 的原像, MM 是 A\mathscr{A} 的定义域, x′x' 的全体构成 A\mathscr{A} 的值域,记为 A(M)\mathscr{A}(M), 显然 A(M)⊆M′\mathscr{A}(M) \subseteq M'.

设 VV 与 V′V' 为数域 PP 上的两个线性空间, A\mathscr{A} 是由 VV 到 V′V' 的一个算子,且对于 VV 的任何两个向量 x1,x2∈Vx_1, x_2 \in V 和任何数 λ∈P\lambda \in P, 有

A(x1+x2)=A(x1)+A(x2),A(λx1)=λA(x1)\large \begin{array}{ll} \mathscr{A}(x_1 + x_2) = \mathscr{A}(x_1) + \mathscr{A}(x_2), \\ \mathscr{A}(\lambda x_1) = \lambda \mathscr{A}(x_1) \end{array}

则称 A\mathscr{A} 是由 VV 到 V′V' 的线性算子(或称映射).它的充分必要条件是

A(λ1x1+λ2x2)=λ1A(x1)+λ2A(x2)\mathscr{A}(\lambda _1 x_1 + \lambda _2 x_2) = \lambda _1 \mathscr{A}(x_1) + \lambda _2 \mathscr{A}(x_2)

线性算子有以下性质:

  1. 线性算子 A\mathscr{A} 把 VV 中零向量变为 V′V' 中的零向量; 把向量 x\bm{x} 的负向量 −x-\bm{x} 变为 x\bm{x} 的像 A(x)\mathscr{A}(\bm{x}) 的负向量 A(x)\mathscr{A}(\bm{x}).
  2. 线性算子 A\mathscr{A} 把线性相关的向量组仍变为线性相关的向量组,即若 x1,x2,⋯ ,xn\bm{x}_1, \bm{x}_2, \cdots, \bm{x}_n 线性相关, 则它们的像 A(x1),A(x2),⋯ ,A(xn)\mathscr{A}(\bm{x}_1), \mathscr{A}(\bm{x}_2), \cdots, \mathscr{A}(\bm{x}_n)

同构

设 A\mathscr{A} 是由 VV 到 V′V' 的线性算子,且是"一对一"的,即满足:

  1. A(V)=V′\mathscr{A}(V) = V';
  2. 若 x1,x2∈V\bm{x}_1, \bm{x}_2 \in V, 当 x1≠x2\bm{x}_1 \neq \bm{x}_2 时, 有 A(x1)≠A(x2)\mathscr{A}(\bm{x}_1) \neq \mathscr{A}(\bm{x}_2); 换言之,由 A(x1)=A(x2)\mathscr{A}(\bm{x}_1) = \mathscr{A}(\bm{x}_2), 就有 x1=x2\bm{x}_1 = \bm{x}_2 (可逆映射).

则称 A\mathscr{A} 为 VV 与 V′V' 间的一个同构算子.

若 VV 与 V′V' 之间存在同构算子,则称 VV 与 V′V' 是同构的线性空间,简称 VV 与 V′V' 同构.简单地说,一对一的线性算子称为同构算子.

同构线性空间有以下 3 个基本性质:

  1. 传递性.设 V1,V2,V3V_1, V_2, V_3 是数域 PP 上的线性空间,若 V1V_1 与 V2V_2 同构, V2V_2 与 V3V_3 同构,则 V1V_1 与 V3V_3 同构.
  2. 同构的线性空间中的零向量必定是互相对应的.
  3. 同构的线性空间中的线性相关向量组对应于线性相关向量组,线性无关向量组对应于线性无关向量组.

数域 PP 上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是两空间的维数相同.

线性算子的矩阵表示

设 e1,e2,⋯ ,en\bm{e}_1, \bm{e}_2, \cdots, \bm{e}_n 是 VnV^n 的一组基, A\mathscr{A} 是由 VnV^n 到 VmV^m 的线性算子,则 A(e1),A(e2),⋯ ,A(en)∈Vm\mathscr{A}(\bm{e}_1), \mathscr{A}(\bm{e}_2), \cdots, \mathscr{A}(\bm{e}_n) \in V^m 叫做 VnV^n 在算子 A\mathscr{A} 下的基像.

如果 A\mathscr{A} 和 B\mathscr{B} 都是 VnV^n 到 VmV^m 的线性算子,且对于任意 x∈Vnx \in V^n, 均有 A(x)=B(x)∈Vm\mathscr{A}(x) = \mathscr{B}(x) \in V^m, 则说线性算子 A\mathscr{A} 和 B\mathscr{B} 相等.

由 VnV^n 到 VmV^m 的线性算子 A\mathscr{A} 是由基像 A(e1),A(e2),⋯ ,A(en)\mathscr{A}(\bm{e}_1), \mathscr{A}(\bm{e}_2), \cdots, \mathscr{A}(\bm{e}_n) 唯一确定的,因此在建立线性算子和具体矩阵之间的联系时,只要考察它的一组基像坐标.

设 A\mathscr{A} 是由 VnV^n 到 VmV^m 的一个线性算子,取 e1,e2,⋯ ,en\bm{e}_1, \bm{e}_2, \cdots, \bm{e}_n 作为 VnV^n 的基, e1′,e2′,⋯ ,en′\bm{e}'_1, \bm{e}'_2, \cdots, \bm{e}'_n 作为 VmV^m 的基, 令

{A(e1)=a11e1′+a21e2′+⋯+am1em′A(e2)=a12e1′+a22e2′+⋯+am2em′⋮A(en)=a1ne1′+a2ne2′+⋯+amnem′\left \{ \begin{array}{} \mathscr{A}(\bm{e}_1) = a_{11}\bm{e}'_1 + a_{21}\bm{e}'_2 + \cdots + a_{m1}\bm{e}'_m \\ \mathscr{A}(\bm{e}_2) = a_{12}\bm{e}'_1 + a_{22}\bm{e}'_2 + \cdots + a_{m2}\bm{e}'_m \\ \vdots \\ \mathscr{A}(\bm{e}_n) = a_{1n}\bm{e}'_1 + a_{2n}\bm{e}'_2 + \cdots + a_{mn}\bm{e}'_m \end{array} \right.

即

A(e1,e2,⋯ ,en)=(A(e1),A(e2),⋯ ,A(en))=(e1′,e2′,⋯ ,en′)(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn)=(e1′,e2′,⋯ ,en′)A\begin{array}{ll} &\mathscr{A}(\bm{e}_1, \bm{e}_2, \cdots, \bm{e}_n) \\ = &(\mathscr{A}(\bm{e}_1), \mathscr{A}(\bm{e}_2), \cdots, \mathscr{A}(\bm{e}_n)) \\ = &(\bm{e}'_1, \bm{e}'_2, \cdots, \bm{e}'_n) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \\ = &(\bm{e}'_1, \bm{e}'_2, \cdots, \bm{e}'_n)A \end{array}

称 AA 为 A\mathscr{A} 在基偶 {e1,e2,⋯ ,en}\{\bm{e}_1, \bm{e}_2, \cdots, \bm{e}_n\} 与 {e1′,e2′,⋯ ,en′}\{\bm{e}'_1, \bm{e}'_2, \cdots, \bm{e}'_n\} 下的矩阵表示.

线性算子的运算

记线性空间 V1V_1 到 V2V_2 的所有线性算子组成的集合为 D(V1,V2)\mathscr{D}(V_1, V_2).

若 A,B∈D(V1,V2)\mathscr{A}, \mathscr{B} \in \mathscr{D}(V_1, V_2), 且 (A+B)(x)=A(x)+B(x)(\mathscr{A+B})(\bm{x}) = \mathscr{A}(\bm{x}) + \mathscr{B}(\bm{x}), 则称 A+B\mathscr{A} + \mathscr{B} 为 A\mathscr{A} 与 B\mathscr{B} 的和.

若 A∈D(V1,V2),B∈D(V2,V3)\mathscr{A} \in \mathscr{D}(V_1, V_2), \mathscr{B} \in \mathscr{D}(V_2, V_3), 且 (BA)(x)=B(A(x))(\mathscr{BA})(\bm{x}) = \mathscr{B}(\mathscr{A}(\bm{x})), 则称 BA\mathscr{BA} 为 A\mathscr{A} 与 B\mathscr{B} 的乘积.

线性变换

由 VV 到自身的变换 A\mathscr{A} 称为 VV 上的线性变换.

如果对于任何 x∈V\bm{x} \in V, 恒有 A(x)=x\mathscr{A}(\bm{x}) = \bm{x}, 则称 A\mathscr{A} 为恒等变换或单位变换.记为 I\mathscr{I}, 对应的矩阵记为 I\bm{I} 或 E\bm{E}.

零变换 O\mathscr{O} 与任意线性变换 A\mathscr{A} 的和仍然等于 A\mathscr{A}, 且

A+(−A)=O\mathscr{A} + (-\mathscr{A}) = \mathscr{O}

单位变换 I\mathscr{I} 与任意线性变换 A\mathscr{A} 的乘积仍然等于 A\mathscr{A}, 且

AI=IA=A\mathscr{AI} = \mathscr{IA} = \mathscr{A}

如果

AB=BA=I\mathscr{AB} = \mathscr{BA} = \mathscr{I}

则称 B\mathscr{B} 为 A\mathscr{A} 的逆变换, 记作 A−1\mathscr{A}^{-1}. 如果线性变换 A\mathscr{A} 可逆, 那么 A−1\mathscr{A}^{-1} 也是线性变换.

更新于：2023年8月5日

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