偏微分题目的解法

介绍

偏微分是考研数学里的小重点,通常在题干中就能很明显看到偏导数.这种题目一般会有两个小题,且第一题往往送分题,通常是求某个复合函数的偏导,直接用复合函数的求导法则即可得到答案.第二题通常是求原函数,一般来说会用到第一小题的结论,通常解法是对第一小题得到的答案求不定积分,此时积分结果里会包含另一个参数的函数,再通过题目给定条件,求出这个参数的函数

例题1

设函数 $f(x,y)$ 的全微分为 $df(x,y)=(2ax+by)dx+(2by+ax)dy$ ,( $a$ , $b$ 为常数),且 $f(0,0)=-3,f_{x}^{'}(1,1)=3$ ,求 $f(x,y)$

本题给的是全微分,但是可以看成两个偏微分,并且较为基础,所以放在第一题

\frac{\partial f}{\partial x}=2ax+by,\frac{\partial f}{\partial y}=2by+ax

直接对两个偏微分求不定积分,可以得到原函数.注意对 $x$ 积分时,将 $y$ 看作常数,因此最后的 $+C$ 实际上应该写作 $+g(y)$

f(x,y)=ax^{2}+bxy+g(y)=by^{2}+axy+h(x)

显然两者是同一个函数,因此对应的项的系数也相同,即 $a=b$ ,对 $x$ 求偏导,得到 $f_{x}^{'}(1,1)=2a+b=3$ ,故 $f(x,y)=x^2+xy+y^2-3$

例题2

设可微函数 $f(u,v)$ 满足 $\frac {\partial f}{\partial u}+\frac {\partial f}{\partial v}=(u+v)e^{u-v}$ ,且 $f(0,v)=0$ ,若 $u=x,v=x+y$

(1).求 $\large\frac {\partial f(x,x+y)}{\partial x}$

(2).求 $f(u,v)$ 的极值

本题的第一题较为简单,在没有提示的情况下第二题较难,但是有了第一题的结论,第二题也较容易想到解法

先看第一题,这是经典的复合函数求导,可以直接得到答案

\frac{∂f(x,x+y)}{∂x}=\frac{∂f}{∂u}\cdot\frac{∂u}{∂x}+\frac{∂f}{∂v}\cdot\frac{∂v}{∂x}=\frac{∂f}{∂u}+\frac{∂f}{∂v}=(2x+y)e^{-y}

将第一题得到的答案对x积分,得到

f(x,x+y)=\int{\frac{∂f(x,x+y)}{∂x}}dx=x(x+y)e^{-y}+g(y)=uve^{u-v}+g(v-u)

且有 $f(0,v)=g(v-u)=0$ ,所以 $f(u,v)=uve^{u-v}$ ,后面的极值不属于本文范围,这里直接给出最终答案: $f(-1,1)=-e^{-2}$ 为极小值

例题3

设函数 $u=f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数,且满足等式 $\large4\frac{∂^2u}{∂x^2}+12\frac{∂^2u}{∂x∂y}+5\frac{∂^2u}{∂y^2}=0$ ,确定 $a,b$ 的值,使等式在变换 $\xi=x+ay,\eta=x+by$ 下简化为 $\large\frac{∂^2u}{∂\xi∂\eta}=0$

本题是早年的考研题,看似很复杂,实际上原理及其简单,就是把原本对的偏导转换成的偏导,但是计算量较大,且很容易算错

先求出一阶偏导 $\large\frac{∂u}{∂x}=\frac{∂u}{∂\xi}+\frac{∂u}{∂x}$ , $\frac{∂u}{∂y}=a\frac{∂u}{∂\xi}+b\frac{∂u}{∂\eta}$ ,再求一次导,得到二阶偏导

\frac{∂^2u}{∂x^2}=\frac{∂}{∂x}(\frac{∂u}{∂\xi}+\frac{∂u}{∂\eta})=\frac{∂^2u}{∂\xi^2}+2\frac{∂^2u}{∂\xi∂\eta}+\frac{∂^2u}{∂\eta^2}

\frac{∂^2u}{∂y^2}=\frac{∂}{∂y}(a\frac{∂u}{∂\xi}+b\frac{∂u}{∂\eta})=a^2\frac{∂^2u}{∂\xi^2}+2ab\frac{∂^2u}{∂\xi∂\eta}+b^2\frac{∂^2u}{∂\eta^2}

\frac{∂^2u}{∂x∂y}=\frac{∂}{∂x}(a\frac{∂u}{∂\xi}+b\frac{∂u}{∂\eta})=a\frac{∂^2u}{∂\xi^2}+(a+b)\frac{∂^2u}{∂\xi∂\eta}+b\frac{∂^2u}{∂\eta^2}

代入原等式,得到

(5a^2+12a+4)\frac{∂^2u}{∂\xi^2}+(5b^2+12b+4)\frac{∂^2u}{∂\eta^2}+[10ab+12(a+b)+8]\frac{∂^2u}{∂\xi∂\eta}=0

故 $(a,b)=(-2,-\frac{2}{5})$ 或 $(-\frac{2}{5},-2)$

例题4

设函数 $f(u)$ 具有2阶连续导数, $z=f(e^xcosy)$ 满足 $\large\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=(4z+e^xcosy)e^{2x}$ ,若 $f(0)=f'(0)=0$ ,求函数表达式

本题初看毫无头绪,但是注意到题目给出了两个二阶偏导的和,因此我们先要想办法得到这两个偏导

\frac{∂^2z}{∂x^2}=e^xcosy\cdot f'+e^{2x}cos^2y\cdot f''

\frac{∂^2z}{∂y^2}=-e^xcosy\cdot f'+e^{2x}sin^2y\cdot f''

故 $e^{2x}f''=(4z+e^xcosy)e^{2x}$ ,所以 $f''-4f=e^xcosy$ ,此时本题变成了求解微分方程,这里直接给出最终答案 $f(u)=\frac{1}{16}(e^{2u}-e^{-2u}-4u)$

例题5

已知可微函数 $f(u,v)$ 满足 $\large\frac{∂f(u,v)}{∂u}-\frac{∂f(u,v)}{∂v}=2(u-v)e^{-(u+v)}$ ,且 $f(u,0)=u^2e^{-u}$

(1).记 $g(x,y)=f(x,y-x)$ ,求 $\large\frac{∂g(x,y)}{∂x}$

(2).求 $f(u,v)$ 的表达式和极值

第一题较为简单,直接顺着题目思路算下去即可

u=x,v=y-x,∴\frac{∂g(x,y)}{∂x}=\frac{∂f(x,y-x)}{∂x}=\frac{∂f(u,v)}{∂x}=\frac{∂f}{∂u}-\frac{∂f}{∂v}=(4x-2y)e^{-y}

有了第一题的结论,我们就能得到原函数 $g(x,y)=(2x^2-2xy)e^{-y}+h(y)$ ,而又有 $f(u,0)=g(u,u)=h(u)=u^2e^{-u}$ ,所以 $g(x,y)=(2x^2-2xy+y^2)e^{-y}$ ,即 $f(u,v)=(u^2+v^2)e^{-(u+v)}$

后面的极值不属于本文范围,这里直接给出最终答案: $f(0,0)=0$ 为极小值