中值定理

拉格朗日中值定理

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{'}(\xi),\xi \in (a,b)$$

柯西中值定理

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{'}(\xi)}{g^{'}(\xi)},\xi \in (a,b)$$

积分第一中值定理

$$\frac{\int_a^b f(x)dx}{b-a}=f(\xi),\xi \in (a,b)$$

积分第二中值定理

$$\frac{\int_a^b f(x)g(x)dx}{\int_a^b g(x)dx}=f(\xi),\xi \in (a,b),g(x)\text{不变号}$$

二重积分中值定理

$$\frac{\iint_D f(x,y)g(x,y)dxdy}{\iint_D g(x,y)dxdy}=f(x_0,y_0),(x_0,y_0)\in D$$

二重积分中值定理的推广

$$\iint_D f(x,y)g(x,y)d\sigma=f(x_0,y_0)S_D,(x_0,y_0)\in D,S_D\text{为}D\text{的面积}$$

经典例题1

解:

因为$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=\lim\limits_{u\rightarrow 0^+}e^u \frac{\sin \sqrt{u}}{\sqrt{u}}=1=f(0,0)$,

所以$f(x,y)$在$(0,0)$处连续

所以存在$(\xi ,\eta) \in D$, 使得$\iint_D f(x,y)dxdy=f(\xi, \eta)S_D =f(\xi,\eta)S_D=\pi t^2 f(\xi,\eta)$

所以$\lim\limits_{t \rightarrow 0^+}\frac{1}{\pi t^2}\iint_D f(x,y)dxdy=\lim\limits_{t \rightarrow 0^+}f(\xi,\eta)=f(0,0)=1$

经典例题2

解:

由洛必达得:$f(0)=1$,$f^{''}(0)=2$,区域$D$的面积$S=\frac{1}{2}t^2$

所以存在$(\xi,\eta)\in D$,使得$\iint_Df^{''}(x+y)dxdy=\frac{1}{2}t^2f^{''}(\xi,\eta)$

同理存在$(\mu,\lambda)\in D$,使得$\iint_Df(x+y)dxdy=\frac{1}{2}t^2f(\mu,\lambda)$

所以

$$\begin{array}{ll} &\lim\limits_{t \rightarrow 0^+}\frac{\iint_Df^{''}(x+y)dxdy}{\iint_Df(x+y)dxdy} \\ =&\lim\limits_{t \rightarrow 0^+}\frac{\frac{1}{2}t^2f^{''}(\xi + \eta)}{\frac{1}{2}t^2f(\mu + \lambda)} \\ =&\lim\limits_{t \rightarrow 0^+}\frac{\frac{1}{2}t^2f^{''}(0)}{\frac{1}{2}t^2f(0)} \\ =&2 \end{array}$$