区间再现公式的理解与应用

区间再现公式

区间再现

区间再现公式在不改变积分上下限的情况下实现了换元

$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$$

将原积分中的$x$替换成$(a+b-x)$,即上下限之和与$x$的差,因此被称为“区间再现”,这种方法通常应用在含有三角函数得定积分计算上

证明

定义未知数$t$,使得$t=a+b-x$

则

$$\begin{array}{ll} \int_a^bf(x)dx &=\int_b^af(a+b-t)\cdot (-1)dt \\\\ &=\int_a^bf(a+b-t)dt \\\\ &=\int_a^bf(a+b-x)dx \end{array}$$

经典例题

使用区间再现公式,得

$$\begin{array}{ll} \int_0^\pi xf(\sin x)dx &=\int_0^\pi (\pi -x)f[\sin(\pi -x)]dx \\\\ &=\int_0^\pi (\pi -x)f(\sin x)dx \\\\ &=\pi\int_0^\pi f(\sin x)-\int_0^\pi xf(\sin x)dx \end{array}$$

令$I=\int_0^\pi xf(\sin x)dx$,移项得

$$\begin{array}{ll} I&=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)dx \\\\ &=\frac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx+\frac{\pi}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi f(\sin x)dx \\\\ &=\frac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx+\frac{\pi}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^0f[\sin(\pi -t)]\cdot(-1)dt,t=\pi -x\\\\ &=\frac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx+\frac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin t)dt \\\\ &=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx \end{array}$$

公式推广

推广公式

若函数$f(x)$,$g(x)$满足$f(x)=f(a+b-x)$,$g(x)+g(a+b-x)=m$,则

$$\int_a^bf(x)g(x)dx=\frac m 2 \int_a^b f(x)dx$$

证明

$$\begin{array}{ll} &\int_a^bf(x)g(x)dx \\\\ =&\int_a^bf(a+b-x)g(a+b-x)dx \\\\ =&\int_a^bf(x)g(a+b-x)dx \\\\ =&\frac 1 2 \left (\int_a^bf(x)g(x)dx+\int_a^bf(x)g(a+b-x)dx\right ) \\\\ =&\frac 1 2 \int_a^bf(x)[g(x)+g(a+b-x)]dx \\\\ =&\frac m 2 \int_a^bf(x)dx \end{array}$$

例题1

本题是48届美国大学生数学竞赛(B-1)赛题,解答方法如下

令$f(x)=1,g(x)=\frac{\sqrt{\ln(9-x)}}{\sqrt{\ln(9-x)+\sqrt{\ln(x+3)}}}$,则有$f(x)=f(6-x)=1,g(x)+g(6-x)=\frac{\sqrt{\ln(9-x)}+\sqrt{\ln(x+3)}}{\sqrt{\ln(9-x)}+\sqrt{\ln(x+3)}}=1$

所以$I=\frac 1 2 \int_2^4dx=1$

例题2

本题是前苏联奥林匹克数学竞赛试题,解答方法如下

令$f(x)=\frac 1 {x^2+1},g(x)=\frac 1 {e^x+1}$,所以$f(x)=f(0-x),g(x)+g(0-x)=1$,所以

$$\begin{array}{ll} I&=\frac 1 2 \int_{-1}^1\frac {dx}{x^2+1} &=\frac 1 2 \arctan x|_{-1}^1 \\\\ &=\frac \pi 4 \end{array}$$