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渐近等价

考虑函数: f(x)=x²+4x

当x→∞时,该函数可以看作x平方与它的高阶无穷小o(x²)之和,即

DearXuan

于是我们称f(x)和x²是渐近等价的,设g(x)=x²,那么我们可以用下面的符号表示渐进等价

DearXuan

更一般地,如果存在两个函数f(x)和g(x),使得下面式子成立

DearXuan

就称f(x)和g(x)渐进等价

你也可以用极限的方法来判断两个函数是否渐近等价

DearXuan

我们可以轻而易举地得到一个结论:f(x)总是跟自己渐近等价

DearXuan

渐近上界

若对于函数 f(n),g(n),存在c和k,使得

DearXuan

即从k开始,f(n)永远无法超过cg(n),则称g(n)为f(n)的渐近上界,写作

DearXuan

注意O(g(n))表示的是一个集合,它代表了所有以g(n)为渐近上界的函数,此处的等于号是用于指出f(n)是所有以g(n)为渐近上界的函数里的一元

下面的图片可以帮助你更好的理解f(n)与g(n)的关系

若选取 c=5 ,则当x>1时,f(n)<5g(n)

DearXuan

同样的,我们也可以轻易得到一个结论,f(x)总是自己的渐近上界

DearXuan

渐近时间复杂度

设有下面一段函数

1
2
3
4
5
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i;j++){
swap(i,j);
}
}

外循环共执行了n次,内循环共执行了i次,所以总共执行次数为

DearXuan

如果我们把代码改成如下所示

1
2
3
4
5
6
7
8
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i;j++){
execute1(i,j);
execute2(i,j);
execute3(i,j);
execute4(i,j);
}
}

那么此时算法执行命令的总次数就翻了4倍

随着n的逐渐增大,这两个算法所用时间的增长规模是相似的,并且我们并不需要特别高的精度

因此我们可以用算法执行时间 t(n) 的渐近上界 f(n) 来表示一个算法的效率

DearXuan

在渐近时间复杂度中,我们只关心执行时间的增长规模,而不关心具体数字,显然以下两个函数的规模是一致的

DearXuan

因此我们需要对渐近时间复杂度进行化简

函数推导

f(n)=O(g(n))Λg(n)=O(h(n))→f(n)=O(h(n))

根据定义,我们得到

DearXuan

合并,得到

DearXuan

命题得证

f(x)~g(x)→O(f(x))=O(g(x))

我们设 h(x) = O(f(x)),由渐近等价得定义得

DearXuan

由无穷小定义可得,对于任意 ε>0,总存在N,使得下列不等式成立

DearXuan

取 ε=1,便得到

DearXuan

替换掉f(x),得到

DearXuan

命题得证

其它结论

通过上面两个结论,再利用其它高等数学知识,我们便可以推出下面的结论

DearXuan

因此,在计算渐近时间复杂度时,若出现多项式,我们可以遵守以下准则

  1. 只保留最高阶的项
  2. 最高阶的项系数为1

例如: O(4n³+2n²+9)=O(n³)

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